1973'te Danıştay Yardımcısı olarak mesleğe başlayan Alkıvılcım, 1981'de Danıştay Tetkik Hakimi olarak göreve devam etti.
Danıştay üyeliğinin ardından sekizinci daire başkanlığına seçilen Alkıvılcım, dört yıllık kanuni görev süresinin dolmak üzere olması nedeniyle Danıştay Genel Kurulu'nca yapılan seçimde ikinci kez Danıştay Sekizinci Daire Başkanlığı'na seçildi.